Теорема косинусов. решение треугольников — соотношения между сторонами и углами треугольника. скалярное произведение векторов — самостоятельные работы — геометрия

Введение

Признаки равенства треугольников.

1 признак: если 2 стороны одного треугольника и угол между ними равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак: если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак: если 3 стороны одного треугольника соответственно равны 3м сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Свойство: Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов: медианы, радиусы вписанных и описанных окружностей и т.д.

Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Для прямоугольных треугольников признак равенства звучит несколько иначе:

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.

Заметим, что угол 90 градусов одновременно является наибольшим углом в любом прямоугольном треугольнике.

На самом деле, признак равенства прямоугольных треугольников можно сформулировать для произвольного треугольника.

4 признак:

Если 2 стороны и больший угол одного треугольника равны соответственно 2м сторонам и большему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

 Рассмотрим 2треугольника, .

Дано:                                            

.

-больший угол.

Доказать: , .

Доказательство:

Доказательство осуществим точно так же, как доказывается равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе, потому как мы находимся в тех же условиях: равны 2 стороны ибольшие углы.

Т.к. , то  так, что вершина A совместится с вершиной .

Т.к.  то вершина В совместится в вершиной .

Но тогда вершины С и .тоже совместятся. Но как это строго доказать? Докажем от противного:

Предположим, что точка С совместится с некоторой другой точкой  луча .

 – равнобедренный, т.е.

  

Получили противоречие, т.е. вершины С и тоже совместятся.

Признаки подобия треугольников

1 признак. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

2 признак. Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

3 признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:

— Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

— Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Теоремы синусов и косинусов

Теорема косинусов

Для плоского треугольника со сторонами  и углом , противолежащим стороне , справедливо соотношение:

.

Заметим, что если треугольник прямоугольный, то , тогда cos=0 и теорема косинусов трансформируется в основное тригонометрическое тождество.

Теорема синусов

Для произвольного треугольника

где , ,  — стороны треугольника,  — соответственно противолежащие им углы, а  — радиус окружности,описаннойвокруг треугольника.

Основные элементы треугольников

1.       Высоты(,)треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

В случае, если треугольник тупоугольный, ортоцентр находится вне треугольника.

2.       Биссектрисы(,) треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – это центр вписанной окружности. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника.

3.       Медианы(,) треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан – центр тяжести треугольника. Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

4.       Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения серединных перпендикуляров – это центр описанной окружности.

Список литературы

1.       Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9 (Источник).

2.       Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия. Дидактические материалы, 7 класс (Источник), 8 класс (Источник), 9 класс (Источник).

Домашнее задание

Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9: №96 (стр. 30), №139 (стр.41), 560 (стр.140)

Прямоугольный треугольник, определение тригонометрических функций

Нарисуем прямоугольный треугольник , угол  прямой. , катет , , катет . Гипотенуза  (см. Рис. 1).

Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике задаются тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Рис. 1

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к гипотенузе.

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к гипотенузе.

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему.

Определение:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к противолежащему.

Кроме того, важный факт касается углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет .

Для удобства выпишем выражения для всех сторон треугольника через тригонометрические соотношения.

Теорема синусов

Итак, мы расширили инструмент тригонометрических функций и можем использовать их не только для острых углов. Воспользуемся этим инструментом.

Мы знаем формулу для вычисления площади треугольника через длину его стороны и высоты, которая к ней проведена (см. рис. 21):

Рис. 21. Произвольный треугольник со стороной  и проведенной к ней высотой  

Но высота – это дополнительный элемент, который может быть неизвестен (а его измерение на практике затруднено). Поэтому хочется иметь формулу, позволяющую находить площадь треугольника только с использованием его основных элементов – углов и треугольников. Попробуем избавиться от высоты в формуле: .

Рассмотрим остроугольный треугольник (см. рис. 22).

Рис. 22. Рассматриваемый остроугольный треугольник

В нем все три высоты лежат внутри. Проведем любую из них (см. рис. 23) и воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

Рис. 23. Остроугольный треугольник со стороной  и проведенной к ней высотой

Откуда:

Несложно получить аналогичные формулы:

В прямоугольном треугольнике (см. рис. 24) ситуация с острыми углами  аналогична:

Рис. 24. Рассматриваемый прямоугольный треугольник

А для прямого угла :

Наконец, в тупоугольном треугольнике (см. рис. 25) все аналогично для острых углов :

Рис. 25. Рассматриваемый тупоугольный треугольник

Рассмотрим тупой угол . Проведем высоту :

Откуда:

(по доказанному нами свойству синуса).

Итак, мы доказали, что для любого треугольника:

В первых двух выражениях мы видим одинаковые ненулевые множители . Попробуем сократить на них:

Или, если переписать в виде пропорции:

Аналогично можно получить:

Или, обобщая:

Это равенство означает, что если в треугольнике делить длину стороны на синус противолежащего угла, то всегда будем получать одно и то же значение. Или иначе: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Это равенство носит название теоремы синусов. Это полезный инструмент, который позволяет нам находить значение недостающих элементов треугольника (например, по двум углам и стороне найти значение еще одной стороны).

Можно ли вычислить значение этих дробей? Имеет ли оно какой-то геометрический смысл?

Опишем около треугольника  окружность. Через центр  проведем диаметр . Углы  и  опираются на одну и ту же окружность, следовательно, они равны:  (см. рис. 26).

Рис. 26. Равные углы  и , опирающиеся на одну и ту же окружность

Раз углы равны, то равны и синусы: . Тогда:

Но треугольник  является прямоугольным (угол  вписанный, опирается на диаметр), поэтому:

Подставив это выражение в правую часть равенства, получим:

Т. е. все три отношения из теоремы синуса равны диаметру описанной окружности вокруг треугольника:

Очевидно, что наши рассуждения доказывают и саму теорему синусов. Ведь все три отношения для нашего треугольника равны диаметру описанной окружности, а значит, равны и друг другу.

ГМТ, из которых данный отрезок виден под одним и тем же углом

Рассмотрим все треугольники с основанием , вписанные в данную окружность (см. рис. 27).

Рис. 27. Рассматриваемые треугольники с основанием , вписанные в окружность

По теореме синусов:

Т. к. для всех таких треугольников будут равны  и , то для них будут равны и .

Как мы уже знаем, синусы углов треугольника будут равны в двух случаях:

Первый вариант выполняется для точек верхней дуги окружности, второй – нижней (рис. 28).

Рис. 28. Первый случай выполняется для точек верхней дуги окружности, второй  – для нижней точки

Несложно доказать и обратное утверждение: если любая точка лежит вне окружности, то , т. е. из нее отрезок  не будет виден под углом .

Таким образом, геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, будет дуга окружности. А если точнее, то, в силу симметрии, две дуги окружности (это ГМТ еще называют «уши Чебурашки») (рис. 29).

Рис. 29. ГМТ «уши Чебурашки»

Этот факт можно использовать, например, для расположения зрителей в зале – чтобы все имели одинаковый угол обзора сцены.

Основные тригонометрические тождества

Напомним другие важные тригонометрические соотношения:

1.       – основное тригонометрическое тождество;

Доказательство:

Вспомним теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

α=b

Согласно правилу нахождения гипотенузы:

АВ=аsinα=c

Рис. 2

Итак, мы рассмотрели основные соотношения, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Вспомнили основные формулы, которые связывают тригонометрические функции острого угла. Кроме того, мы решили несколько типовых задач.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Terver.ru (Источник).
  3. Bymath.net (Источник).

Домашнее задание

  1. Задание 1: в равнобедренном треугольнике ∆КРО с основанием РО проведена высота КН. Найдите угол ∠ОKН, если угол ∠Р=54°.
  2. Задание 2: один из углов прямоугольного треугольника 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4с м. Найдите гипотенузу треугольника.
  3. Задание 3: в прямоугольном треугольнике ∆АВС с прямым углом ∠С внешний угол при вершине А равен 120°. АС+АВ = 18 см, найдите длины АС и АВ.

Геометрия7-9 классы

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 206). Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Рис. 206

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Синус, косинус и тангенс угла, равного а, обозначаются символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке 206

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и А1В1С1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и С1 и равными острыми углами А и А1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что , т. е. sin А = sin А1. Аналогично , т. е. cos А = cos А1, и т. е. tg A = tg А1.

Докажем теперь справедливость равенства

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора ВС2 + АС2 = АВ2, поэтому sin2 А + cos2 А = 1.

Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством1.

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°

Найдём сначала значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого ∠A = 30°, ∠B = 60° (рис. 207).

Рис. 207

Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то .

Но

.

С другой стороны,

Итак,

Из основного тригонометрического тождества получаем:

По формуле (4) находим:

Найдём теперь sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 208).

Рис. 208

В этом треугольнике АС = ВС, ∠A = ∠B = 45°. По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2 = 2АС2 = 2ВС2, откуда AC = BC = .

Следовательно,

Составим таблицу значений sin α, cos α, tg α для углов α, равных 30°, 45°, 60°:

Задачи

591. Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС =24, АВ = 25.

592. Постройте угол α, если: а) tg α = 1/2; б) α = 3/4; в) cos α = 0,2; г) cos α = 2/3; д) sin α = 1/2; e) sin α = 0,4.

593. Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = 1/2; 6) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; r) cos α и tg α, если sin α = 1/2.

594. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b =10 см, β = 50°.

595. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12см, α = 42°.

596. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите второй острый угол и катеты через с и α и найдите их значения, если с = 24 см, а α = 35°.

597. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15.

598. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании, если: а) боковая сторона равна 6; б) основание равно а.

599. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен α.

600. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209)?

Рис. 209

601. Найдите углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.

602 Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

603. В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50′. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ.

Ответы к задачам

593. а) √3/2 и √3; б) √5/3 и √5/2; г) √15/4 и √15/15.

594. а) , 90° — β, ; б) ≈ 8,39 см, 40°, ≈ 13,05см.

595. а) b tg α, 90° — α, ; б) ≈ 11 см, 48°, ≈ 16 см.

596. 90° — α, с sin α, с cos α; 55°, ≈ 14 см, ≈ 20 см.

597. ; ≈ 19, ≈ 38°39′, ≈ 51°21′.

598. a) b2 sin α cos α; б) .

599. 8 tg α cм2.

600. ≈ 74 м.

601. 60°, 120°, 60° и 120°.

602. 60° и 30°.

603. ≈ 72 см2.

1 Слово «тригонометрия» в переводе с греческого языка означает «измерение треугольников».

Диапазон значений тангенса и котангенса угла

Рассмотрим теперь значения тангенса и котангенса. Будем увеличивать угол от  до . Катет  будет меняться от  до . С катетом  все с точностью до наоборот: от  до .

Получается, что:

Поэтому можем определить:

А :

Но мы знаем, что деление на  не определено. Как же быть? Если проследить изменение значений тангенса, то заметно, что они неограниченно растут при приближении угла к . Поэтому можно сказать, что: . Но поскольку у нас нет такого числа, как бесконечность, говорят, что  не существует или, по-другому, не определен.

 не определен

Это вполне согласуется с уже полученными свойствами. Действительно:

Поскольку деление на  не определено, то и  должен быть не определен.

С котангенсом все аналогично. Несложно получить:

 – не определен

Ссылка на основную публикацию