Презентация к уроку алгебры на тему » применение теоремы виета» ( 8 класс)

Задача 2

Найти корни уравнения

Это уравнение можно решить через дискриминант, но это очень неудобно.

Взглянув на это уравнение можно заметить, что  является корнем уравнения.

Один корень мы подобрали, как найти второй? Воспользуемся теоремой Виета, согласно ей произведение корней уравнения:

Подставим в равенство найденный корень:

Итак, нам нужно было решить уравнение. Первый корень мы подобрали, второй нашли по теореме Виета.

Ответ:; .

Теорема Виета позволяет легко найти сумму и произведение корней, не зная самих корней. Это является ключом к решению многих задач, в которых не требуется найти корни, но требуется найти выражения, которые зависят от суммы и произведения корней. В общем виде – найти функцию , которая зависит от суммы корней и от их произведения.

Рассмотрим конкретную задачу.

Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения

Вспомним, что , .

Рассмотрим эти соотношения.

Нарисуем оси координат. Предположим, что , т. е. ветви параболы направлены вверх. Предположим, что дискриминант , имеются два корня,  и , и есть ось симметрии у параболы. Вспомним, что  или  (если есть корни). В терминах , это записывается так:

То есть первое уравнение  отражает симметрию параболы относительно прямой  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Симметрия параболы

Что показывает второе уравнение ?

Оно показывает, каковы знаки у корней.

Если , то корни одного знака.

Если , то корни разных знаков.

Мы доказали теорему Виета. Но чем же она хороша?

Во-первых, она иногда позволяет относительно просто решить само уравнение.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x2 − 5x + 6 = 0.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x+ x= 6, так и равенству x× x= 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x× x= 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 81 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x× x= 8, но и равенству x+ x= 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x× x= 8, но не удовлетворяют равенству x+ x= 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x× x= 8, так и равенству x+ x= 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x2 + bx + c = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.

Квадратные уравнения

Полученные в примерах уравнения:  и  – это линейные уравнения (уравнения вида ). С ними и с задачами, которые ими описываются, мы уже умеем работать.

Но в линейных уравнениях переменная всегда в первой степени (. Понятно, что так будет не всегда. Например, если мы ищем сторону квадрата с площадью , то должны решить уравнение: , которое уже не будет линейным (логично так и назвать его – нелинейным).

Многие задачи могут быть смоделированы нелинейными уравнениями. Например, для нахождения минимальной начальной скорости мяча , с которой нужно его подбросить, чтобы он перелетел через забор высотой  метра, нужно решить квадратное уравнение .

Как получилось такое уравнение?

Воспользуемся формулой из курса физики, а именно – формулой для вычисления расстояния, которое прошло тело при равноускоренном движении.

Когда мы подбрасываем мяч, то на него действует только сила тяжести, т.е. мяч движется с ускорением , которое направлено вниз. Пока мяч летит вверх, это ускорение замедляет его начальную скорость до  (в верхней точке), а когда он начинает падать, наоборот, разгоняет (увеличивает скорость).

Рис. 1. Когда мяч начинает падать, ускорение увеличивает его скорость

В этом случае расстояние от земли до мяча можно вычислить по формуле:

где  – начальная скорость мяча,  – скорость мяча на данной высоте,  – ускорение свободного падения:

Мяч перелетит через забор, если высота его подлета станет равной высоте забора:

 м

Т.к. мы ищем минимальную скорость, то достаточно, чтобы это была верхняя точка траектории, т.е. скорость мяча в ней равнялась

Кроме того, мы обозначили:

Получаем:

Откуда:

Подробнее о решении таких задач (и о том, откуда взялась использованная нами формула) вы узнаете на уроках физики в 9 классе

Рассмотрим два линейных уравнения:

Если мы их перемножим, то получим уравнение:

Понятно, что у этого уравнения два корня:  и , потому что произведение равно  только тогда, когда хотя бы один из множителей равен .

Если мы раскроем скобки в левой части, то получим уравнение:

Мы получили пример простейшего нелинейного уравнения – квадратного уравнения.

Строгое определение: квадратное уравнение – это уравнение вида:

где  – заданные числа (коэффициенты квадратного уравнения), причем, ведь если , то уравнения будет линейным .

Неполные квадратные уравнения

Рассмотренные квадратные уравнения называются неполными квадратными уравнениями. Если вы сравните их с общим видом квадратного уравнения: , то поймете, почему.

Так, в уравнении  отсутствует слагаемое с , т.е. в нем коэффициент . В уравнении  отсутствует свободный член, т.е. . Рассмотрим еще несколько примеров неполных квадратных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение.

Чтобы использовать здесь формулу разности квадратов, вспомним соотношение для квадратных корней:

для любого неотрицательного . Соответственно:

Тогда:

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение:

Решение.

Формулы для суммы квадратов нет, поэтому мы не можем разложить левую часть уравнения на множители. В таком случае, уравнение не имеет решений. Покажем это:

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицательная величина, значит, нельзя найти такое значение , при котором .

Ответ: нет действительных корней.

С примером ситуации, когда квадратное уравнение не имеет решений, можно ознакомиться ниже.

Пример задачи, которая не имеет решения

Уравнения возникают, как модели для решения некоторых задач. Понятно, что некоторые задачи могут не иметь решения, а, значит, не будет иметь решения и соответствующее уравнение.

Вернемся к примеру с мячом, который бросают вертикально вверх. Выше мы говорили о формуле для пройденного мячом расстояния:

Если воспользоваться тем, что скорость при таком движении изменяется по формуле: , то получим:

Тогда, если тело подбросили вертикально вверх со скоростью  м/с, то зависимость высоты над поверхностью  будет иметь вид:

Чтобы определить время, через которое тело будет находиться на высоте  метра, нужно будет решить уравнение:

На высоте  м – уравнение:

Но тело, брошенное вертикально со скоростью  м/с, не долетит до высоты  метров (максимальная высота составит  метров). Поэтому вполне естественно, что уравнение  не будет иметь решений.

Когда мы говорим о том, что квадратное уравнение не будет иметь корней, то всегда будем говорить о действительных (вещественных) корнях. Мы говорили, что можно расширить такой инструмент число и ввести числа, квадрат которых может быть отрицательным (см. рис. 1):

Рис. 1. Действительные и комплексные числа

Такие числа называются комплексными. Если рассматривать решение квадратного уравнения на множестве комплексных чисел, то у него всегда будет два корня. Например:

Но, если по определению:

то:

Тогда:

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби  и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Задача 4

Найти все , при каждом из которых отношение корней уравнения  равно 12.

Решение

Есть параметр . При некоторых значениях  у уравнения может вообще не быть корней, при других значениях корни будут , но нужно подыскать такие значения параметра, при которых корни отличаются в 12 раз.

Сформируем систему, из которой мы найдем :

Мы получили систему трех уравнений относительно трех неизвестных: , , .

Решим систему. Заметим, что первые два уравнения зависят только от  и , если мы их решим, то подставим в третье уравнение и найдем .

Подставим значение  из первого уравнения во второе:

Рассмотрим оба варианта :

a) 

Подставляем в третье уравнение:

Первый ответ получен.

b) 

Подставляем в третье уравнение:

Ответ:; .

Задача решена.

Сделаем следующие примечания: при найденных  система имеет решение, значит, и само квадратное уравнение  имеет решение и проверять дискриминант не нужно. Дискриминант будет больше нуля, поскольку система и квадратное уравнение равносильны в силу теоремы Виета.

Составление уравнений

Когда вы просыпаетесь утром и слышите за окном размеренный стук капель, то сразу понимаете, что на улице идет дождь. Для этого вам даже не надо выглядывать в окно. Или мама приготовила вам с братом 5 бутербродов в школу. Увидев только 2 бутерброда, вы понимаете, что ваш брат взял с собой 3, хотя и не видели, как он это сделал.

В жизни мы часто сталкиваемся с такими ситуациями: наблюдаем одно, а на основании этих наблюдений делаем выводы о другом. Если речь идет о числовых величинах, то по результатам наблюдений мы можем составить уравнение для получения вывода – нахождения неизвестной величины.

Как измерить толщину листа бумаги? Обычная линейка не подойдет – у нее цена деления больше измеряемой величины. Но можно воспользоваться тем, что толщина у листов, обычно, практически одинаковая. Значит, если взять много листов, то толщина одного – это толщина пачки, разделенная на количество листов в ней.

Получаем метод измерения: взять пачку такой толщины, чтобы ее можно было достаточно точно измерить имеющейся линейкой, затем посчитать количество листов в ней. Если, к примеру, толщина пачки из 500 листов оказалась равной , то получаем уравнение:

Откуда толщина одного листа:

Другой пример. Вам нужно посчитать, сколько конфет лежит в пакете. Конечно, это можно сделать напрямую. Ну, а если конфет очень много? Выход есть! Если мы знаем массу одной конфеты (например, на упаковке написано: 15 г), то можем взвесить весь пакет (пусть получилось 1800 г). Обозначив количество конфет за , составляем уравнение:

Решая уравнение, получаем ответ:

8.2.1. Решение неполных квадратных уравнений

I. ax2=0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.

Решить уравнения.

Пример 1. 2x·(x+3)=6x-x2.

Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:

2×2+6x=6x-x2; переносим слагаемые из правой части в левую:

2×2+6x-6x+x2=0; приводим подобные слагаемые:

3×2=0, отсюда  x=0.

Ответ: 0.

II. ax2+bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0). Решение: x (ax+b)=0 → x1=0 или ax+b=0 → x2=-b/a. Ответ: 0; -b/a.

Пример 2. 5×2-26x=0.

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.

Ответ: 0; 5,2.

Пример 3. 64x+4×2=0.

Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.

Ответ: -16; 0.

Пример 4. (x-3)2+5x=9.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

x2-6x+9+5x=9;  преобразуем к виду: x2-6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:

x2-x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.

Ответ: 0; 1.

III. ax2+c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax2=-c → x2=-c/a.

Если (-c/a), то действительных корней нет. Если (-с/а)>0, то имеем два действительных корня:

Пример 5. x2-49=0.

Решение. 

x2=49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.

Пример 6. 9×2-4=0.

Решение.   

Ссылка на основную публикацию